Question

已知双曲线C的中心在原点O，抛物线y²=2x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1，)．

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设直线l：y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，试问：

(1)k为何值时⊥．

(2)是否存在实数k，m使A、B两点关于直线y=mx对称，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)由题意设双曲线方程为=1，把(1，)代入得=1(*)

又y²=2x的焦点是(，0)，故双曲线的c²=a²+b²=

与(*)联立，消去b²可得4a⁴-21a²+5=0，

(4a²-1)(a²-5)=0．

∴a²=,a²=5(不合题意舍去) 

于是b²=1,∴双曲线方程为4x²-y²=1 

(Ⅱ)由消去y得(4-k²)x²-2kx-2=0(*)，

当△＞0，即-2＜k＜2(k≠±2)时，l与C有两个交点A、B

(1)设A（x₁,y₁),B(x₂,y₂),因,故=0即x₁x₂+y₁y₂=0，由(*)知x₁+x₂=,x₁x₂=，代入可得+1=0

化简得k²=2

∴k=±，检验符合条件，故当k=±时，

(2)法一：若存在实数k，m满足条件，则必须

由(2)，(3)得m(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2   (4) 

把x₁+x₂=代入(4)得mk=4

这与(1)的mk=-1矛盾，故不存在实数k，m满足条件．

法二：假设存在实数k、m，则mk=-1

设A、B中点为P(x₀，y₀)则y₀=mx₀

由得:

∴k=即mk=4这与mk=-1矛盾

∴不存在实数k、m，满足条件．