Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的值域；
（3）证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断出；
（2）变形为f（x）=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，利用指数函数的单调性函数值域0＜2^x，即反比例函数的单调性与值域即可得出．
（3）?x₂＞x₁，只要证明f（x₂）-f（x₁）＞0即可．

解答：解：（1）由函数f(x)=

2x-1

2x+1

，可知函数的定义域为R．
∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），故函数f（x）是奇函数．
 （2）f（x）=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵0＜2^x，∴1＜2^x+1，∴0＜

2

2x+1

＜2，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
∴函数f（x）的值域是（-1，1）．
（3）证明：?x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=1-

2

2x2+1

-(1-

2

2x1+1

)=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0，
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．