Question

15．已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点．点F（1，0）为定点，且满足$\overrightarrow{PN}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0．
（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程．
（Ⅱ）A，B是E上的两个动点，l为AB的中垂线，求当l的斜率为2时，l在y轴上的截距m的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出N点的坐标，由已知条件$\overrightarrow{PN}$可知P为MN的中点，由题意设出P和M的坐标，求出$\overrightarrow{PM}$和$\overrightarrow{PF}$的坐标，代入$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$可求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l方程为y=2x+m，则AB的方程为：$y=-\frac{1}{2}x+b$，直线与圆锥曲线联立求得中点坐标，继而求出答案．

解答 解：：（Ⅰ）设动点N的坐标为（x，y），P（0，b）M（a，0）则$\overrightarrow{PN}=（x，y-b），\overrightarrow{NM}=（a-x，-y）$，
$\overrightarrow{PM}=（a，-b），\overrightarrow{PF}=（1，-b）$，由$\overrightarrow{PN}+\frac{1}{2}\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PF}=0$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}（a-x）=0}\\{y-b-\frac{1}{2}y=0}\\{a+{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，
∴y²=4x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l方程为y=2x+m，则AB的方程为：$y=-\frac{1}{2}x+b$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=-\frac{1}{2}x+b}\end{array}\right.$可得：x²-4（b+4）x+4b²=0，△=16（b+4）²-16b²＞0，∴b＞-2，
x₁+x₂=4（b+4），∴AB的中点坐标为（2b+8，-4），-4=4b+16+m
∴m=-4b-20，故：m∈（-∞，-12）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题是考查的中点，常和弦长问题、存在性问题结合考查，解答时往往采用“设而不求”的解题方法，借助于一元二次方程的根与系数关系解题，该种类型的问题计算量较大，要求学生有较强的运算能力，是难题．