Question

18、已知函数f（x）=（k+1）x³-3（k+2）x²-k²-2k（k＞-1）．
（1）若f（x）的单调递减区间为（0，4），求k的值；
（2）当k的值满足（1）时，求过M（1，-5）作曲线f（x）的切线的方程

Answer 1

分析：（1）先由原函数f（x）=（k+1）x³-3（k+2）x²-k²-2k，求出其导数f′（x），再由题意得：f′（x）＜0的解集为（0，4），
最后根据方程的思想求出k值即可；
（2）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

解答：解：（1）∵f（x）=（k+1）x³-3（k+2）x²-k²-2k，
f′（x）=3（k+1）x²-6（k+2）x，f′（x）＜0的解集为（0，4），
得4是方程3（k+1）x²-6（k+2）x=0的一个根，
把x=4代入，得k=0．
（2）∵（1，-5）在曲线f（x）=x³-6x²上，
∴斜率t=f′（x）|_x-1=3x²-12x|_x-1=3+12=15
∴所求切线方程为y+5=15（x-1），即为15x-y-20=0

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．