Question

某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质：
①输入1时，输出结果是

1

4

；
②输入整数n（n≥2）时，输出结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以3n-5，再除以3n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）试由（1）推测f（n）（其中n∈N*）的表达式，并给出证明．

Answer 1

（1）由题设条件知f（1）=

1

4

，f（n）=

3n-5

3n+1

f（n-1），
∴f(2)=

1

7

×

1

4

=

1

28

；f(3)=

1

28

×

4

10

=

1

70

；f(4)=

1

70

×

7

13

=

1

130

．…（3分）
（2）猜想：f（n）=

1

(3n-2)(3n+1)

（其中n∈N*）…（5分）
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，f(1)=

1

4

，

1

(3×1-2)(3×1+1)

=

1

4

，
所以此时猜想成立．                …（6分）
（2）假设n=k（k∈N*）时，f(k)=

1

(3k-2)(3k+1)

成立
那么n=k+1时，

f(k+1)= 3(k+1)-5 3(k+1)+1 f(k)= 3(k+1)-5 3(k+1)+1 • 1 (3k-2)(3k+1) = 1 3(k+1)+1 • 1 (3k+1) = 1 [3(k+1)-2][3(k+1)+1]

…（9分）
所以n=k+1时，猜想成立．
由（1）（2）知，猜想：f（n）=

1

(3n-2)(3n+1)

（其中n∈N*）成立．
…（12分）