Question

在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

Answer 1

（Ⅰ）解：在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，
∴BC＝，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝2，AD＝4．
∴

则
（Ⅱ）证明：∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC．            
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．
∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC．      
∵AF∩EF＝F，
∴PC⊥平面AEF．