Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n为正整数），
（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数n，k≤S_n恒成立，求实数k的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）， ①
∴当n≥2时，， ②
由①-②，得，
∴（n≥2），
又∵，
解得，
∴数列{a_n}是首项为1，公比为的等比数列，
∴（n为正整数）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由题意可知，对于任意的正整数n，恒有，
∵数列单调递增，
当n=1时，数列中的最小项为，
∴必有k≤1，即实数k的最大值为1。