Question

（2009湖南卷文）（本小题满分13分）

对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有

,            

则称数列为数列.

（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;

（Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：

A组：①数列是B-数列,      ②数列不是B-数列;

B组：③数列是B-数列,      ④数列不是B-数列.

请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.

判断所给命题的真假，并证明你的结论；

(Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。

Answer 1

解析: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是

    

            

==

所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列    .

（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.

事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n，

       .

由n的任意性知，数列不是B-数列。

命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。

事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有

       ,

       即.于是

,

所以数列是B-数列。

（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）           

 (Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有

     .

因为

            .

记，则有

                      .

因此.

故数列是B-数列.