Question

9．（重点中学做）甲乙两个人参加射击训练，射击一次中靶的概率分别是p₁，p₂，其中$\frac{1}{{p}_{1}}$，$\frac{1}{{p}_{2}}$是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+mx（x∈R）的两极值点，函数g（x）=sinx-2x+2在区间[0，2π]上的最大值为$\frac{1}{{p}_{1}}$．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）两人各射击1次，求两人中至少中靶1次的概率．

Answer 1

分析 （1）分别求得导数，由单调性可得最值，结合韦达定理，即可得到所求值；
（2）运用分类讨论和间接法，即可得到所求概率．

解答 解：（1）g（x）的导数为g′（x）=cosx-2＜0，
即有g（x）在[0，2π]递减，可得g（x）_max=g（0）=2，
$\frac{1}{{p}_{1}}$=2，可得p₁=$\frac{1}{2}$，f′（x）=x²-5x+m，
令f′（x）=0，可得$\frac{1}{{p}_{1}}$+$\frac{1}{{p}_{2}}$=5，
解得p₂=$\frac{1}{3}$；
（2）两人中至少中靶1次分两种情况：
①恰好中靶一次的概率为$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
②恰好中靶两次的概率为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
则两人中至少中靶1次的概率为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}$．
或两人均未中靶的概率为（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$，
则两人中至少中靶1次的概率为1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求极值和最值，考查直接法和间接法求概率，属于基础题．