Question

函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=4x³-6x²+1，则函数f（x）在[-1，4]上零点的个数为（　　）

Answer 1

分析：先利用导数法确定函数当x∈[0，2）时的零点的个数，再利用函数为以2为周期的周期函数，即可得出结论．

解答：解：函数f（x）满足f（x+2）=f（x），所以函数为以2为周期的周期函数
当x∈[0，2）时，f（x）=4x³-6x²+1，f′（x）=12x²-12x=12x（x-1）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函数在[0，1）上单调减，在（1，2）上单调增
∵f（0）=1，f（1）=-1＜0，f（2）=32-24+1=9＞0
∴当x∈[0，2）时，f（x）=4x³-6x²+1，函数f（x）有两个零点
∵函数为以2为周期的周期函数
∴当x∈[2，4）时，函数f（x）有两个零点；x∈[-1，0）时，函数f（x）有一个零点
∴函数f（x）在[-1，4]上零点的个数为5
故选C．

点评：本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，考查函数的周期性，解题的关键是确定当x∈[0，2）时，f（x）=4x³-6x²+1，函数f（x）有两个零点．