Question

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=4，AB=2CD=8．
（1）求证：AC⊥平面BCE；
（2）求四棱锥C-ABEF的体积．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理证明AC⊥BC，再证AC⊥EB，由线面垂直的判定定理可证AC⊥平面BCE；
（2）先证AD⊥平面ABEF，利用转化思想求得四棱锥的高，代入体积公式计算．

解答：解：（1）证明：∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，
∴AC=BC=

AD2+CD2

=4

2

．AB=8．∴AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
又平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴EB⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，∴AC⊥EB，EB∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE；
（2）∵AD⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面ABEF，∵CD∥AB，∴AD为四棱锥C-ABEF的高，AD=4，
∴V_C-ABEF=

1

3

×4×8×4=

128

3

．

点评：本题考查了线面垂直的判定，四棱锥体积的计算，解答的关键是利用勾股定理证明AC⊥BC．