Question

已知A={x|4^x-9•2^x+1+32≤0}，B={y| y=log

1

2

x

2

•log

1

2

x

8

，x∈A }；若y₁∈B，y₂∈B．求|y₁-y₂|最大值．

Answer 1

分析：解复合型指数不等式 4^x-9•2^x+1+32≤0 求得A=[1，4]，求函数y=log

1

2

x

2

•log

1

2

x

8

，x∈A  的值域求得 B=[-1，3]，由此求得当y₁∈B，y₂∈B时，|y₁-y₂|最大值．

解答：解：由4^x-9•2^x+1+32≤0 可得 （2^x）²-18•2^x+32≤0，即 （2^x-2）（2^x-16）≤0，即2≤2^x≤16，
∴1≤x≤4，即A=[1，4]．
∵y=log

1

2

x

2

•log

1

2

x

8

，x∈A ，
∴y=log2

2

x

•log2

8

x

=（1-log₂x）（3-log₂x）．
再由 1≤x≤4，可得  0≤log₂x≤2，故当log₂x=0时，y_max=3；  当log₂x=2 时，y_min=-1，
∴B=[-1，3]．
∴|y₁-y₂|最大值为 3-（-1）=4．

点评：本题主要考查复合型指数不等式、复合型对数不等式的解法，二次函数性质的应用，属于中档题．