Question

18．若奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x，则函数g（x）的最小值是1．

Answer 1

分析 由题意，以-x代替x，代入f（x）+g（x）=2^x得到一个关于f（-x）和g（-x）方程，利用奇（偶）函数的定义把此方程转化为关于f（x）和g（x）另外一个方程，再联立已知方程用消元法求出g（x），利用基本不等式，即可求出函数g（x）的最小值．

解答 解：由题意知，f（x）+g（x）=2^x ①，
令以-x代替x，代入得，f（-x）+g（-x）=2^-x ②，
∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（x）=g（-x）代入②得，
-f（x）+g（x）=2^-x；③，
联立①③消去f（x），解得g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），
∴g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）≥1
故答案为：1．

点评 本题考查了用函数奇偶性来求函数的解析式，主要利用定义列出另外一个方程，利用方程思想求出函数的解析式．