题目内容

（2009•上海模拟）已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的体积为
32
3
π
32
3
π
．
分析：设△ABC的外接圆半径为2x，由AB=BC=CA=3可得4x2=x2+（
2
3
×
3
2
×3）2，求得球的半径R=2，再用球的体积公式加以计算即可得到答案．
解答：解：设球的半径为2x，可得
4x2=x2+（
2
3
×
3
2
×3）2，解之得x=1
球的半径R=2
∴球的体积为V=
4π
3
R3=
32
3
π．
故答案为：
32
3
π．
点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．
练习册系列答案
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（2009•上海模拟）在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取a′=
a+2
2
，可得：2=
2+2
2
＜a′=
a+2
2
＜
a+a
2
=a≤3，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集B={x|x=
n
m
，m，n∈N*，并且n＜m}没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设x=
n0
m0
是B中的最大数，则可以找到x'=
n0+1
m0+1
n0+1
m0+1
（用m0，n0表示），由此可知x'∈B，x'＞x，这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．
（2009•上海模拟）定义区间（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的长度均为n-m，其中n＞m．
（1）若关于x的不等式2ax2-12x-3＞0的解集构成的区间的长度为
6
，求实数a的值；
（2）已知关于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过
π
3
，求实数b的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组
7
x+1
＞1 
log2x+log2(tx+3t)＜2
的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．
（2009•上海模拟）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x||x-2|＜2，x∈R}，那么集合A∩B=
{x|0＜x≤3}
{x|0＜x≤3}
．
（2009•上海模拟）已知集合A={z|z=1+i+i2+…+in，n∈N*}，B={ω|ω=z1•z2，z1、z2∈A}，（z1可以等于z2），从集合B中任取一元素，则该元素的模为
2
的概率为
2
7
2
7
．
（2009•上海模拟）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
x4
上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

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