题目内容

已知函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)，数列{xn}满足xn+1＝f(xn)，(n＝1，2，…)，且x1＝1．

(1)设an＝|xn－|，证明：an+1＜an；

(2)设(1)中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜．

答案：
解析：

　　证明：(1)an+1＝|xn+1－|＝|f(xn)－|＝．

　　∵xn＞0，

　　∴an+1＜(－1)|xn－|＜|xn－|＝an，

　　故an+1＜an．

　　(2)由(1)的证明过程可知

　　an+1＜(－1)|xn－|

　　＜(－1)2|xn－1－|

　　＜…＜(－1)n|x1－|＝(－1)n+1

　　∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＜|x1－|＋(－1)2＋…＋(－1)n

　　＝(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n

　　＝[1－(－1)n]＜．


练习册系列答案
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(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a为正数)．
(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
(2) 求f(x)的单调区间；
(3) 设g(x)＝x2－2x，若对任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是(　　)

A．f(1)≥25         B．f(1)＝25     C．f(1)≤25         D．f(1)>25

 

已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝                 (　　)

A．－1                      B.

C．－1或                 D．1或－

 

  已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(x)＝x无实根，下列命题中：

    （1）方程f [f (x)]＝x一定无实根；

    （2）若a＞0，则不等式f [f (x)]＞x对一切实数x都成立；

    （3）若a＜0，则必存在实数x0，使f [f (x0)]＞x0；

    （4）若a＋b＋c＝0，则不等式f [f (x)]＜x对一切x都成立；

    正确的序号有          ．              

 

已知函数f(x)＝|lg(x－1)|－()x有两个零点x1，x2，则有

A．x1x2<1　　　　B．x1x2<x1＋x2

C．x1x2＝x1＋x2　　　　D．x1x2>x1＋x2

 

 

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