Question

设函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象经过两点（0，1），（

π

2

，1），且在0≤x≤

π

2

内|f(x)|≤2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=a+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和点 (

π

2

，1)，找到a，b，c之间的关系，根据辅助角公式，可将函数解析式进行化简，然后分类讨论a取不同值时，|f（x）|≤2的解集情况，综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：由图象过两点得1=a+b，1=a+c，∴b=1-a，c=1-a，f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+

2

(1-a)sin(x+

π

4

)∵0≤x≤

π

2

，则

π

4

≤x+

π

4

≤

3

4

π，
∴

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1
当a＜1时，1≤f(x)≤

2

+(1-

2

)a，要使|f(x)|≤2，
只须

2

+(1-

2

)a≤2解得a≥-

2

当a＞1时，

2

+(1-

2

)a≤f(x)≤1
要使|f(x)|≤2只须

2

+(1-

2

)a≥-2解得a≤4+3

2

，
故所求a的范围是-

2

≤a≤4+3

2

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中根据已知条件易找到a，b，c之间的关系，再根据辅助角公式，可将函数解析式变形成正弦函数的形式是解答本题的关键．