Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若

AB

•

BC

=-

3

2

，且b=

3

，求a+c的值；
（2）若存在实数m，使得2sinA-sinC=m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，结合A+B+C=π，可得B=

π

3

，
∵

AB

•

BC

=-

3

2

，得c•acos

2π

3

=-

3

2

，
∴ac=3． ①
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accos

π

3

，
∴3=a²+c²-ac，可得a²+c²=3+ac=6． 
由此联解①、②，得a+c=2

3

．
（2）2sinA-sinC=2sinA-sin(

2π

3

-A)
=2sinA-(

3

2

cosA+

1

2

sinA)=

3

2

sinA-

3

2

cosA=

3

sin(A-

π

6

)，
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

π

2

，
由此可得2sinA-sinC的取值范围为(-

3

2

，

3

)，
即m的取值范围为（-

3

2

，

3

）