Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线有两个不同交点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）利用平方关系消去参数即可得到曲线的普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；

（2）解法1：根据直线的斜率公式，求得直线的斜率的取值范围，进而取得实数的取值范围.解法2：利用方程组，转化为方程在上有两个不相等实根，借助二次函数的性质，即可求解.

（1）解：曲线的普通方程为，

把，代入，得

直线的直角坐标方程为，即.

（2）解法1：由直线：，知直线恒过点.

由，当时，得，

所以曲线过点，.

则直线的斜率为，

直线的斜率为.

因为直线的斜率为，且直线与曲线有两个不同交点，

所以，即.

所以的取值范围为.

解法2：由，消去得，

依题意，得在上有两个不相等实根.

设，

则，

解得.

所以的取值范围为.