题目内容
设函数y=f(x)定义域为R,当x＜0时,f(x)＞1,且对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)成立.数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=
(n∈N*).(1)求f(0)的值;求证:函数y=f(x)在R上是减函数;
(2)求数列{an}的通项公式并证明.
解:(1)令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)·f(0),即f(0)=1.
当x＞0时,-x＜0,∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.∴0＜f(x)＜1.
设x1,x2∈R,且x1＜x2,
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1)=f(x1)［1-f(x2-x1)］,
∵x1＜x2,∴x2-x1＞0.∴f(x2-x1)＜1.
∴1-f(x2-x1)＞0,而f(x1)＞0.
∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).
∴函数y=f(x)在R上是减函数.
(2)由f(an+1)=得f(an+1)·f(-2-an)=1,
∴f(an+1-an-2)=f(0).
∴an+1-an-2=0,
即an+1-an=2(n∈N*).
∴{an}是等差数列，其首项为1，公差为d=2.∴an=2n-1.
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