Question

12．已知当|p|≤2时，不等式2x-1＞p（x²-1）恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 不等式等价于p（x²-1）-（2x-1）＜0在[-2，2]上恒成立，利用一次函数要么为增函数，要么为减函数两种情况分别讨论即可．

解答 解：由|p|≤2得-2≤p≤2，
则不等式2x-1＞p（x²-1）恒成立，等价为p（x²-1）-（2x-1）＜0，
设f（p）=（x²-1）p-（2x-1）
要使f（p）＜0在[-2，2]上恒成立，当且仅当
$\left\{\begin{array}{l}{f（2）＜0}\\{f（-2）＜0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-2x-1＜0}\\{-{2x}^{2}-2x+3＜0}\end{array}\right.$
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
∴x的取值范围是{x|$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$}

点评 本题考查不等式恒成立问题，利用一次函数单调性的性质是解决本题的关键．