Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=l，S_n=（2ⁿ-1）a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）记T_n=n×a_l+（a-1）a₂+（n-2）a₃+…+2×a_n-1+l×a_n（n∈N^*），求T_n．

Answer 1

（1）证明：∵S_n=（2ⁿ-1）a_n，∴S_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1，
两式相减可得：a_n+1=（2ⁿ⁺¹-1）a_n+1-（2ⁿ-1）a_n，
∴a_n+1=a_n，
∵a₁=l，
∴数列{a_n}是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，a_n=
∵T_n=n×a_l+（n-1）a₂+（n-2）a₃+…+2×a_n-1+l×a_n，
∴T_n=n×a₂+（n-1）a₃+（n-2）a₄+…+2×a_n+l×a_n+1，
∴T_n=n×a_l-（a₂+a₃+…+a_n）-a_n=n-1+
∴
分析：（1）根据数列递推式，再写一式，两式相减，化简可得数列{a_n}是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）求得数列的通项，利用错位相减法可求数列的和．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．