Question

（本小题满分14分）

设（且），g(x)是f(x)的反函数.

（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；

（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；

（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.

Answer 1

本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.

解：(1)由题意，得a^x＝＞0

故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)

由得 

t＝(x-1)²(7-x)，x∈[2,6]

则t'=-3x²+18x-15=-3(x-1)(x-5)

列表如下：

x	2	(2,5)	5	(5,6)	6
t'		+	0	-
t	5	↗	极大值32	↘	25

所以t_最小值＝5，t_最大值＝32

所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分

(2)  

           ＝ln()

           ＝－ln

令u(z)＝－lnz²－＝－2lnz＋z－，z＞0

则u'(z)＝－＝(1－)²≥0

所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数

又因为＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0

即ln＞0 

即………………………………………………………………9分

(3)设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3

当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4

当n≥2时

设k≥2,k∈N ^*时，则f(k)＝ 

                        ＝1＋

所以1＜f(k)≤1＋

从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1

所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4

综上所述，总有|－n|＜4