Question

已知函数f(x)=2+.数列{a_n}中,a₁=a,a_n+1=f(a_n)(n∈N^*).当a取不同的值时,得到不同的数列{a_n},如当a=1时,得到无穷数列1,3,,,…;当a=-时,得到有穷数列-,0.

(1)求a的值,使得a₃=0;

(2)设数列{b_n}满足b₁=-,b_n=f(b_n+1)(n∈N^*),求证:不论a取{b_n}中的任何数,都可以得到一个有穷数列{a_n};

(3)求a的取值范围,使得当n≥2时,都有＜a_n＜3.

Answer 1

解:(1)因为a₁=a,a_n+1=2+,

所以a₂=2+=,a₃=2+=.                                     

要a₃=0,即要a=-.所以a=-时,a₃=0.                                         

(2)由题知b₁=-,2+=b_n.

不妨设a取b_n,所以a₂=2+=b_n-1,a₃=2+=2+=b_n-2,                        

……

a_n=2+=2+=b₁=-.所以a_n+1=0.                                      

所以不论a取{b_n}中的任何数,都可以得到一个有穷数列{a_n}.                    

(3)＜a_n＜3＜2+＜31＜a_n-1＜3.                                   

因为(,3)(1,3),所以只要有＜a₂＜3就有＜a_n＜3(n≥3).                       

由解得

即1＜a＜3.

所以a的取值范围是(1,3).