Question

已知函数f（x）=a²x²+ax-

7

4

（a＞0），函数g（x）=lnx．
（1）若函数f（x）与函数g（x）的图象有公共点，且在公共点处有相同的切线，求a的值；
（2）在区间（0，1]上存在x₀，使f（x₀）＜g（x₀）（8），求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设公共点为M（x₀，y₀），则f^′（x₀）=g^′（x₀），f（x₀）=g（x₀），联立两方程即可求解．
（2）设u（x）=f（x）-g（x），则u（x₀）＜0，进而求解a的范围．

解答：解：（1）依题意设函数f（x）与函数g（x）的图象的公共点为M（x₀，y₀），
则

f′(x0)=g′(x0) f(x0)=g(x0)

?

2a2x0+a= 1 x ① a2x02+ax0- 7 4 =lnx0 ②

，
由①得（2ax₀-1）（ax₀+1）=0∵a＞0，x₀＞0∴x₀=

1

2a

，
代入②得a=

e

2

．
（2）令u（x）=f（x）-g（x）=a²x²+ax-lnx-

7

4

，x∈（0，1]，
若存在x₀∈（0，1]，使f（x₀）＜g（x₀），即u（x₀）＜0成立，只需u（x）_min＜0，
由u'（x）=2a²x+a-

1

x

=

(2ax-1)(ax+1)

x

（x∈（0，1]，a＞0）知若0＜a≤

1

2

，
则u'（x）≤0对于x∈（0，1]恒成立，
∴u（x）在（0，1]上单调递减，
而u（x）_min=u（1）=a²+a-

7

4

＜0显然成立，
∴0＜a≤

1

2

；
若

1

2

＜a＜

e

2

，同理u(x)min=u(

1

2a

)=ln2a-1＜0∴

1

2

＜a＜

e

2

；
若a≥

e

2

，同理u(x)min=u(

1

2a

)=ln2a-1≥0不合题意综合得0＜a＜

e

2

．

点评：本题考查了直线的图象特征与斜率的关系，在解题过程中运用了函数在区间上的最值的求解方法，有一定难度，要求掌握好相关知识点间的联系．