题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1的导函数为f′（x），f′（0）＞0，f（x）与x轴恰有一个交点，则 $数学公式$ 的最小值为

A.
2
B.
$数学公式$
C.
3
D.
$数学公式$

A
分析：首先对f（x）求导，得出f′（x）=2ax+b，再利用f′（0）＞0，可得出b＞0；利用f（x）与x轴恰有一个交点，可得出△=0，得到a与b的关系式，即可用a表示b，从而得出 $\text{[math]}$ 的关于b表达式，再利用基本不等式即可求出其最小值．
解答：∵f（x）=ax²+bx+1，∴f′（x）=2ax+b，∴f^′（0）=b，又f′（0）＞0，∴b＞0．
又已知f（x）与x轴恰有一个交点，∴△=b²-4a=0，∴ $\text{[math]}$ ，∴f（1）=a+b+1= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ =1+1=2．当且仅当 $\text{[math]}$ ，即b=2时取等号，
∴ $\text{[math]}$ 的最小值为2．
故选A．
点评：本题综合考查了二次函数、导数、基本不等式，熟练掌握它们的性质及使用方法是解决问题的关键．

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