Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=

2

，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．
（1）求F在何处时，EF⊥平面PBC；
（2）在条件（1）下，EF是否为PC与AD的公垂线段？若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；
（3）在条件（1）下，求直线BD与平面BEF所成的角．

Answer 1

分析：（1）、建立空间坐标系利用空间向量共线、空间向量垂直建立方程计算出F点坐标，从而判断出F是PC中点；
（2）、利用（1）的结论及BC转化了垂直关系，再利用空间两点间的距离公式计算出；
（3）、找到法向量，再利用直线与平面的夹角计算公式，可得到夹角．

解答：（1）以A为坐标原点，分别以射线AD、AB、AP为x轴、
y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），P（0，0，

2

)，B（0，

2

，0），C（2，

2

，0），
D（2，0，0），E（1，0，0），
∵F在PC上，∴不妨令

PF

=λ

PC

，
设F（x，y，z），

BC

=（2，0，0），

PC

=（2，

2

，-

2

)，

EF

=(x-1，y，z），
∵EF⊥平面PBC，∴

EF

•

BC

=0，

EF

•

PC

=0
又∵

PF

=λ

PC

，∴λ=

1

2

，x=1，y=z=

2

2

，
故F为PC的中点…（4分）
（2）由（1）可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD，∴EF是PC与AD的公垂线段，
∵λ=

1

2

，x=1，y=z=

2

2

，∴

EF

=(0，

2

2

，

2

2

)，即|

EF

|=1…（8分）
（3）由（1）可知

PC

=（2，

2

，-

2

)，且PB=BC=2，F为PC的中点，
∴PC⊥BF，又∵EF⊥PC，∴

PC

为平面BEF的一个法向量，
而

BD

=(2，-

2

，0），设BD与平面BEF所成角为θ，
则sinθ=cos＜

BD

，

PC

＞=

BD • PC

| BD |•| PC |

=

3

6

，
∴θ=arcsin

3

6

，
故BD与平面BEF所成的角为arcsin

3

6

．…（12分）

点评：本题重点考查了空间向量共线、垂直，空间两点间的距离公式，直线与平面的夹角计算公式．锻炼了学生几何问题代数化和学生的计算能力．