题目内容

设函数y=f（x）在区间D上的导数为f'（x），f'（x）在区间D上的导数为g（x），若在区间D上，g（x）＜0恒成立，则称函数y=f（x）在区间D上为“凸函数”已知实数m是常数，f(x)=
x4
12
-
mx3
6
-
3x2
2

（1）若y=f（x）在区间[0，3]上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足|m|≤2的任何一个实数m，函数f（x）在区间（a，b）上都为“凸函数”，求b-a的最大值．
f′(x)=
1
3
x3-
1
2
mx2-3x，g（x）=x2-mx-3．
（1）由题意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立，
∴
g(0)＜0
g(3)＜0
，解得m＞2．
∴m的取值范围是（2，+∞）；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x2-3＜0对?m∈[-2，2]上恒成立，
∴
p(-2)＜0
p(2)＜0
，解得-1＜x＜1．
∴（b-a）max=1-（-1）=2．
练习册系列答案
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设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数 fk(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
，取函数f（x）=2-x-e-x．若对任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），则（　　）
A、K的最大值为2
B、K的最小值为2
C、K的最大值为1
D、K的最小值为1
设函数y=f（x）在（-∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK(x)=
f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)＞K
，取函数f(x)=(
1
2
)|x|，当K=
1
2
时，函数fK（x）的值域是
 
．
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1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2为区间（-1，3）上的“凸函数”，则m=
2
2
．
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805
805
．
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f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
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