题目内容
已知数列{an}满足an+1-2an=0且a3+2是a2，a4的等差中项，Sn是数列{an}的前n项和．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=-nan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=-nan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
分析：（1）由于数列{an}满足an+1-2an=0，则可求出等比数列的公比，再利用a3+2是a2，a4的等差中项，列式求出首项，则等比数列的通项公式可求；
（2）由（1）可求出bn，再由数列求和的错位相减法即可求出Sn，进而可得使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
（2）由（1）可求出bn，再由数列求和的错位相减法即可求出Sn，进而可得使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
解答：解：（1）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（2）由（1）bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2+…+bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24-n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=
-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，
∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（2）由（1）bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2+…+bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24-n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25-（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n＞5
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是中档题．
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