Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=

a

a-1

(an-1)（a为常数，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2Sn

an

+1，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在条件（2）下，设cn=2-(

1

1+an

+

1

1-an+1

)，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：Tn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用通项公式和前n项和公式关系式an=

s1      (n=1) sn-sn-1(n≥2)

，得到a_n与a_n-1的关系．
（2）把s_n代入b_n并化简，已知数列为等比数列，取一些具体简单项，再利用等比中项求出a的值．
（3）把前两小题的结果代入c_n并化简，由式子的特点利用放缩法证明．即两项相减时前一项放小后一项放大，前后两项恰好消去，然后再放缩．

解答：解：（1）∵S1=

a

a-1

(a1-1)（a为常数，且a≠0，a≠1），
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1，
化简得

an

an-1

=a（a≠0），
又∵当n=1时，a₁=s₁=a，即{a_n}是等比数列．
∴数列的通项公式a_n=a•a^n-1=aⁿ
（2）由（1）知，bn=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，
因{b_n}为等比数列，则有b₂²=b₁b₃
∵b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

，
∴(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，
解得a=

1

3

，再将a=

1

3

代入得b_n=3ⁿ成立，
∴a=

1

3

．
（3）证明：由（2）知an=(

1

3

)n，
∴cn=2-

1

1+( 1 3 )n

-

1

1-( 1 3 )n+1

=1-

3n

3n+1

+1-

3n+1

3n+1-1

=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，
∵

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

∴

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
∴cn＜

1

3n

-

1

3n+1

∴数列的前n和T_n=c₁+c₂+…+c_n
＜(

1

3

-

1

32

) +(

1

32

-

1

33

) +…+(

1

3n

- 

1

3n-1

)
=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

点评：本题考查的知识全面，涉及到通项公式和前n项和的关系及等比数列的定义，计算量也很大，最后证明用放缩法，需要认真观察式子的特点，恰到好处的放缩才能证明出来．做好本题需要强的计算能力和严密的逻辑思维能力．