题目内容

已知数列{a_n}满足a₁= $数学公式$ ，且当n＞1，n∈N^*时，有a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0，
（1）求证：数列 { $数学公式$ }为等差数列；
（2）试问a₁a₂是否是数列 {a_n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

（1）证明：很显然，数列中的各项均不为0
当n≥2时，a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，两边同除以a_n-1 a_n
得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =4，即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =4
对n＞1，n∈N^*成立，
∴{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ =5为首项，4为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +（n-1）d=4n+1，
∴a_n= $\text{[math]}$ ，
∴a₁a₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
设a₁a₂是数列{a_n}的第t项，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t=11∈N^*．
∴a₁a₂是数列{a_n}的第11项．
分析：（1）当n≥2时a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，两边同除以a_n-1 a_n，可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =4，即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =4，从而可证{ $\text{[math]}$ }是以 $\text{[math]}$ =5为首项，4为公差的等差数列．
（2）由（1）可求数列的通项公式a_n= $\text{[math]}$ ，从而a₁a₂= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，进而可判断a₁a₂是数列{a_n}的第11项．
点评：本题考查的重点是等差数列的判断，考查等差数列的通项，解题的关键是将数列递推式变形．