Question

一剪刀剪出一条正弦曲线.

把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈.用剪刀斜着将纸筒剪断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线.

    你知道吗？这条曲线就是正弦曲线！请你来证明这一事实.

Answer 1

证明：如图(1)，设纸筒底面半径为1单位长，截面(椭圆面)与底面所成的二面角为θ(定值)，截口的中心为O′.

(1)

过O′作圆柱的直截面，交截口曲线于两点.取其中一点为O，在过点O且与圆柱侧面相切的平面内，以点O为坐标原点建立直角坐标系，使得Oy轴是圆柱的一条母线.

设点P是截口曲线上任意一点，点Q是点P在⊙O′所在平面内的射影，过Q作QH⊥O′O，垂足为H，连结PH，则∠PHQ是截面与底面所成二面角的平面角，所以∠PHQ=θ.又设∠QO′O=α(变量).

在图(2)中，设P点坐标为(x，y)，以下分别计算P点的横坐标和纵坐标.

(2)

x=OQ′==α，y=Q′P=QP=QH·tanθ，

而在Rt△QHQ′中，QH=sinα，所以y=tanθ·sinα.

令A=tanθ(定值)，则有y=Asinα.

这就证明了截口曲线是一条正弦曲线.