Question

已知二次函数y=f（x）的图像经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图像上，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m。

Answer 1

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)=ax²+bx(a≠0)，则f′(x)=2ax+b，
由于f′(x)=6x-2，得a=3，b=-2，
所以f(x)=3x²-2x，
又因为点均在函数y=f（x）的图像上，所以S_n=3n²-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2=6×1-5，
所以，a_n=6n-5（n∈N*）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知，
故T_n=，
因此，要使成立的m，必须且仅须满足，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10。