Question

 [2012·福建卷] 如图1－3所示，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝AD＝1，AA₁＝2，M为棱DD₁上的一点．

(1)求三棱锥A－MCC₁的体积；

(2)当A₁M＋MC取得最小值时，求证：B₁M⊥平面MAC.

图1－3

Answer 1

解：(1)由长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁知，

AD⊥平面CDD₁C₁，

∴点A到平面CDD₁C₁的距离等于AD＝1，

又S△MCC₁＝CC₁×CD＝×2×1＝1，

∴VA－MCC₁＝AD·S△MCC₁＝.

(2)将侧面CDD₁C₁绕DD₁逆时针转90°展开，与侧面ADD₁A₁共面(如图)，

当A₁，M，C共线时，A₁M＋MC取得最小值．

由AD＝CD＝1，AA₁＝2，得M为DD₁中点．

连接C₁M，在△C₁MC中，MC₁＝，MC＝，CC₁＝2.

∴CC＝MC＋MC²，得∠CMC₁＝90°，即CM⊥MC₁.

又由长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁知，B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴B₁C₁⊥CM.

又B₁C₁∩C₁M＝C₁，∴CM⊥平面B₁C₁M，得CM⊥B₁M；

同理可证，B₁M⊥AM，

又AM∩MC＝M，∴B₁M⊥平面MAC.