Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD.

 

（1）求证：AB⊥平面PAD

（2）求直线PC与底面ABCD所成角的大小；

（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离.

Answer 1

解法一：

（1）证明：

又AB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD

2）解：取AD的中点F，连结AF，CF

∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面BCD

∴CF是PC在平面ABCD上的射影，

∴所以∠PCF是直线PC与底面ABCD所成的角

在

即直线PC与底面ABCD所成的角的大小是

（3）解设点D到平面PBC的距离为h，

在△PBC中，易知PB=PC=

又

即点D到平面PBC的距离为

解法二：

（1）       证明：建立空间直角坐标系D―xyz，如图

不妨设A（1，0，0）

则B（1，1，0），P（

由

由AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD

（2）解：取AD的中点F，连结AF，CF

∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面BCD

∴CF是PC在平面ABCD上的射影，

∴所以∠PCF是直线PC与底面ABCD所成的角

易知C（0，1，0），F（

 

∴直线PC与底面ABCD所成角的大小为

（3）解：设点D到平面PBC的距离为h，

在△PBC中，易知PB=PC=

又

即点D到平面PBC的距离为