Question

在等差数列{a_n}中，已知a₁=20,前n项和为S_n，且S₁₀=S₁₅，求当n取何值时，S_n取得最大值，并求出它的最大值.

Answer 1

当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为S₁₂= 130.

解析:

方法一  ∵a₁=20，S₁₀=S₁₅，

∴10×20+d=15×20+d，

∴d=-.                                                                   4分

∴a_n=20+（n-1）×(-)=-n+.                                           8分

∴a₁₃=0.                                                                    10分

即当n≤12时，a_n＞0,n≥14时，a_n＜0.

∴当n=12或13时，S_n取得最大值，且最大值为

S₁₂=S₁₃=12×20+(-)=130.                                            14分

方法二  同方法一求得d=-.                                                 4分

∴S_n=20n+·(-)

=-n²+n

=-+.                                                      8分

∵n∈N₊,∴当n=12或13时，S_n有最大值，

且最大值为S₁₂=S₁₃=130.                                                       14分

方法三  同方法一得d=-.                                                   4分

又由S₁₀=S₁₅,得a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄+a₁₅=0.                                              8分

∴5a₁₃=0,即a₁₃=0.                                                            10分

∴当n=12或13时，S_n有最大值，

且最大值为S₁₂=S₁₃=130.                                                       14分