Question

已知函数f(x)=

1

2

sin2x+

1

2

(sin2x-cos2x)
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在锐角△ABC中，若f(A)=

1

2

，∠B=

π

3

，BC=2，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和两角差的正弦公式对解析式进行化简，根据周期公式求出；
（2）根据f(A)=

1

2

代入（1）的解析式，再由A是锐角求出A的值，根据正弦定理和条件求出AC的长．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin2x+

1

2

(sin2x-cos2x)=

1

2

（sin2x-cos2x）
=

2

2

sin(2x-

π

4

)
∴函数的周期是T=

2π

2

=π

（2）由题意知，f(A)=

1

2

，
∴f(A)=

2

2

sin(2A-

π

4

)=

1

2

，即sin(2A-

π

4

)=

2

2

∵A为锐角，∴0＜2A-

π

4

＜

3π

4

，则2A-

π

4

=

π

4

，解得A=

π

4

由

AC

sinB

=

BC

sinA

得：AC=

BC

sinA

sinB=2×

3 2

2 2

=

6

．

点评：本题的考点是倍角和辅助角公式、特殊角的三角函数值和正弦定理应用，必须注意角的范围，考查了分析问题、解决问题知识运用的能力．