Question

（2012•闵行区三模）某商品在50天的销售期间，其单价f（t）（元）、销售数量g（t）（件）与时间t（天）（t是正整数）之间的函数关系式分别是：f(t)=

t+20      (0≤t≤30) - 1 2 t+35(31≤t≤50)

，g（t）=-t+50（0≤t≤50）．
（1）写出这种商品在50天内销售金额F（t）与时间t的函数关系式；
（2）问这种商品在50天内哪一天的销售金额最大？

Answer 1

分析：（1）依题意该商品在50天内的销售金额F（t）与时间t的函数关系式为F（t）=f（t）g（t），代入已知函数化简即可；
（2）分段求解，若0≤t≤30，t∈Z，则F（t）=-（t-15）²+1225，由二次函数的知识可知：当t=15时，F（t）_max=1225（元）；当31≤t≤50，t∈Z，则F(t)=

1

2

(t-60)2-50，同样可得当t=31时，F（t）_max=370.5，比较可得结论．

解答：解：（1）依题意该商品在50天内的销售金额F（t）与时间t的函数关系式为：F(t)=f(t)g(t)=

(t+20)(-t+50)(0≤t≤30，t∈Z) (- 1 2 t+35)(-t+50)(31≤t≤50，t∈Z)

．（6分）
（2）若0≤t≤30，t∈Z，则F（t）=-（t-15）²+1225
此时，当t=15时，F（t）_max=1225（元）                         （10分）
若31≤t≤50，t∈Z，则F(t)=

1

2

(t-60)2-50
此时F（t）在[31，50]上递减，故当t=31时，F（t）_max=370.5（14分）
比较知第15天的销售金额最大，达到1225元．（15分）

点评：本题考查分段函数的最值及意义，涉及函数解析式的求解方法，属中档题．