Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*满足关系式2S_n=3a_n-3．数列{b_n}是公差不为0的等差数列，且b₁=2，b₂，b₁，b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，两式相减，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3ⁿ．由b₂，b₁，b₃成等比数列，能求出b_n．
（2）设，由，利用错位相减法能求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．
解答：解：（1）当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又当n=1时，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故数列{a_n}为等比数列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
∵b₂，b₁，b₃成等比数列，
∴，即4=（2+d）（2+2d）
解得，d=-3或d=0（舍去）
∴b_n=2-3（n-1）=-3n+5．
（2）设，
∴，①
∴，②
②-①得，
=-6+3³+3⁴+…+3ⁿ⁺¹+（-3n+5）×3ⁿ⁺¹
=
=
∴．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减法的合理运用．