Question

设f（x）是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈(1，+∞)都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f(x)具有性质P（a），
(Ⅰ)设函数，其中b为实数，
(ⅰ)求证：函数f（x）具有性质P(b)；
(ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知函数g（x）具有性质P(2)。给定x₁，x₂∈(1，+∞)，x₁＜x₂，设m为实数，α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α) -g(β)|＜|g(x₁)-g(x₂)|，求m的取值范围。

Answer 1

解：(Ⅰ)(ⅰ)由，得，
因为x＞1时，，
所以函数f(x)具有性质P(b)．
(ⅱ)当b≤2时，由x＞1得x²-bx+1≥x²-2x+1=(x-1)²＞0，
所以f′(x)＞0，从而函数f(x)在区间(1，+∞)上单调递增；
当b＞2时，解方程x²-bx+1=0得，
因为，，
所以当x∈(1，x₂)时，f′(x)＜0；当x∈(x₂，+∞)时，f′(x)＞0；当x=x₂时，f′(x)=0，
从而函数f(x)在区间(1，x₂)上单调递减，在区间(x₂，+∞)上单调递增；
综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，+∞)；
当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为，单调增区间为。
(Ⅱ)由题设知，g(x)的导函数g′(x)=h(x)(x²-2x+1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，+∞)都成立，
所以，当x＞1时，g′(x)=h(x)(x-1)²＞0，
从而g(x)在区间(1，+∞) 上单调递增．
①当m∈(0，1)时，有α=mx₁+（1-m）x₂＞ mx₁+（1-m）x₁=x₁，
α＜mx₂+(1-m)x₂=x₂，得α∈（x₁，x₂），同理可得β∈(x₁，x₂)，
所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x₁)，g(x₂))，
从而有|g(α)-g(β)|＜|g(x₁)-g(x₂)|，符合题设；
②当m≤0时，α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂，β=(1-m)x₁+mx₂≤（1-m)x₁+mx₁=x₁，
于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x₁)＜g(x₂)≤g(α)，
所以|g(α)-g(β)|≥|g(x₁)-g(x₂)|，与题设不符；
③当m≥1时，同理可得α≤x₁，β≥x₂，进而得|g(α)-g(β)|≥|g(x₁)-g(x₂)|，与题设不符；
因此，综合①②③得所求的m的取值范围为(0，1)。