Question

已知函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

∵函数f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）（0＜φ＜π），
又因为其图象过点（

π

6

，

1

2

）．
∴

1

2

=

1

2

sin(2×

π

6

)sin?+cos2

π

6

cosφ-

1

2

sin(

π

2

+φ)(0＜φ＜π)
解得：φ=

π

3

（2）由（1）得φ=

π

3

，
∴f（x）=

1

2

sin2xsinφ+cos²xcosφ-

1

2

sin（

π

2

+φ）
=

1

2

sin(2x+

π

6

)
∴g(x)=

1

2

sin(4x+

π

6

)
∵x∈[0，

π

4

]
∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当4x+

π

6

=

π

2

时，g（x）取最大值

1

2

；
当4x+

π

6

=

7π

6

时，g（x）取最小值-

1

4

．