Question

（2010•上虞市二模）已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），则{a_n}的通项a_n=

1      n=1 n！ 2   n≥2

．

Answer 1

分析：先根据已知的递推式，求得a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n，减去已知等式，求得a_n+1=（n+1）a_n，进而可求得每相邻两项的比，然后用叠乘法求得数列的通项公式．

解答：解：由已知，得a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n，用此式减去已知式，得
当n≥2时，a_n+1-a_n=na_n，即a_n+1=（n+1）a_n，又a₂=a₁，
所以a₁=1，

a2

a1

=1，

a3

a2

=3，

a4

a3

=4，…

an

an-1

=n，上式相乘求得a_n=

n！

2

（n≥2）
故答案为：a_n=

1      n=1 n！ 2   n≥2

．

点评：本题主要考查了数列的递推式．对于a_n+1=f（n）a_n的形式，一般是把原递推公式转化为

an+1

an

，利用累乘法（逐商相乘法）求解．