Question

【题目】在如图所示的六面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是梯形，，平面平面，，.

（1）在图中作出平面 与平面的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；

（2）求证：平面；

（3）求平面与平面所成角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）延长与相交于点，连接，根据公理和公理可知，即是所求.

（2）通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.

（3）利用勾股定理计算出，建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）延长与相交于点，连接，则直线 就是平面与平面的交线.

（2）因为，，所以是的中位线，故，

因为，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为面，面，

所以平面.

（3）在平面内，过点作的平行线交于点，又，所以四边形为平行四边形，所以，，，又因为，所以，

所以为直角三角形，

且，，.

在平面内，过点作的垂线交于点，

又因为平面平面，平面平面，

所以面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，所以，，设是平面的法向量，

则，即，所以可取.

因为是平面的法向量，

所以，

所以平面与平面所成角的余弦值.