Question

设函数f（x）=5^x-6，
（1）解不等式g（n）[g（1）+g（2）+…+g（n）]＜0 （n∈N^*）；
（2）求h（n）=g（n）[g（1）+g（2）+…+g（n）]-132n （n∈N^*）的最小值．

Answer 1

解：（1），（2分）
∴g（1）+g（2）++g（n）=n²-11n，（2分）
解不等式（2n-12）（n²-11n）＜0，得6＜n＜11（n∈N^*）；（2分）
（2）当x∈R时，h（x）=（2x-12）（x²-11x）-132x
=2x³-34x²，h′（x）=6x²-68x，
由h′（x）＞0，得x＜0或，（2分）
∵n∈N^*，∴1≤n≤11时，h（n）单调递减，
n≥12时，h（n）单调递增，（2分）
当n=11时，h（11）=-1452，当n=12时，h（12）=-1440，
∴h（n）_min=h（11）=-1452．（2分）
分析：（1）先根据对数的运算性质整理函数g（n），然后求出g（1）+g（2）++g（n），然后解不等式即可；
（2）由（1）整理函数h（n），再求导，然后令h′（x）＞0，求出单调区间，进而求出极值．
点评：本题主要考查了利用导数求极值、对数函数的运算性质以及不等式的解法，综合性比较强，把握好基本知识，此类型题目并不难．