题目内容

函数f（x）=（1+x- $数学公式$ + $数学公式$ - $数学公式$ +…- $数学公式$ + $数学公式$ ） cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为

A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

C
分析：先将原函数分解成两个函数g（x）=1+x- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 和y=cos2x的积，分别计算这两个函数的零点．前面的用导数证明是单调增，且f（-3）f（3）＜0，所以必有一个零点；后面一个函数y=cos2x的零点是四个，从而得出答案．
解答：设g（x）=1+x- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，则g′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²= $\text{[math]}$ ，
在区间[-3，3]上， $\text{[math]}$ ＞0，故函数g（x）在[-3，3]上是增函数，
由于g（-3）式子中右边x的指数为偶次项前为负，奇数项前为正，结果必负，即g（-3）＜0，
且g（3）=1+3+（- $\text{[math]}$ ）+（- $\text{[math]}$ ）+…+（- $\text{[math]}$ ）＞0，
故在[-3，3]上函数g（x）有且只有一个零点．
又y=cos2x在区间[-3，3]上有四个零点，且与上述零点不重复，
∴函数f（x）=（1+x- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数为1+4=5．
故选C．
点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，导数的应用，考查了等价转化的思想，属于中档题．