Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）-cos2x+a（a∈R，a为常数），
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据两角和与差的正余弦公式对函数f（x）进行化简，再由T=

2π

w

可求得最小正周期．
（2）由（1）得到f（x）=2sin（2x-

π

6

）+a，再由正弦函数的性质可令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求得x的范围即可得到函数f（x）的单调增区间．
（3）先根据左加右减的原则进行平移，再由正弦函数的性质可求得m的值．

解答：解：（1）f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-cos2x+a=

3

sin2x-cos2x+a
=2sin（2x-

π

6

）+a
∴f（x）的最小正周期T=π；
（2）当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)时，函数f（x）单调递增，
故所求区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)；
（3）函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后得g(x)=2sin[2(x+m)-

π

6

]+a，
要使g（x）的图象关于y轴对称，只需2m-

π

6

=kπ+

π

2

，
即m=

kπ

2

+

π

3

，所以m的最小值为

π

3

．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式的应用和最下正周期的求法，以及 正弦函数的单调性与对称性．三角函数的基础知识比较琐碎，也比较多，平时一定要多注意积累和练习，到考试时才能做到灵活运用．