Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，.

（Ⅰ）求证：平面面；

（Ⅱ）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）由题意得到面，从而．又由题意证得四边形为菱形，故得，于是平面．根据面面垂直的判定定理可得结论成立．（Ⅱ）由题意得为中点，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，根据两向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值．

（Ⅰ）证明：因为，则，

又侧面底面，平面平面，平面，

所以面．

因为平面，则．

又因为，四边形为平行四边形，

则，又

则为等边三角形，则四边形为菱形，

所以．

又，

所以平面．

又面，

所以平面平面．

（Ⅱ）由平面把四面体分成体积相等的两部分，则为中点．

由（Ⅰ）知面，且四边形为菱形、．以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则,．

设平面的法向量为，

由，得，

令，可得．

同理，平面的法向量．

所以．

由图形得二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．