题目内容

已知双曲线 $数学公式$ ，设直线l过点 $数学公式$ ，
（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；
（2）证明：当k＞ $数学公式$ 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 $数学公式$ ．

解：（1）双曲线C的渐近线 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ∴
直线l的方程 $\text{[math]}$
∴直线l与m的距离 $\text{[math]}$ ．

（2）设过原点且平行于l的直线b：kx-y=0，
则直线l与b的距离d= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
又双曲线C的渐近线为 $\text{[math]}$ ，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于 $\text{[math]}$ ．
故在双曲线C的右支上不存在点Q（x₀，y₀）到到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点 $\text{[math]}$ 求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m的距离．
（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞ $\text{[math]}$ 时，可推断出 $\text{[math]}$ ，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于 $\text{[math]}$ ，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x₀，y₀）到到直线l的距离为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．