Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=3

2

，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4

2

，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意及图形可以得出OM是中位线，则OM∥AB，再由线面平行的判定定理得出OM∥平面ABD；、
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，得出图形中各点的坐标，求出两个平面平面ABD的法向量及平面BOD的法向量，再由公式求出两个平面的夹角；
（Ⅲ）设出点N的坐标，得出线段CN对应的向量的坐标，求出它的模，利用其长度等于4

2

建立方程求出点N的坐标

解答：解：（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，
所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB．…（1分）
因为OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（3分）
（Ⅱ）由题意，OB=OD=3，
因为BD=3

2

，
所以∠BOD=90°，OB⊥OD．…（4分）
又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．
.A(3

3

，0，0)， D(0，3，0)，B（0，0，3）．
所以

AB

=(-3

3

，0，3)， 

AD

=(-3

3

，3，0)，…（6分）
设平面ABD的法向量为n=（x，y，z），
则有

AB •n=0 AD •n=0

即：

-3 3 x+3z=0 -3 3 x+3y=0

令x=1，则y=

3

，z=

3

，所以n=(1，

3

，

3

)．…（7分）
因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．
平面BOD的法向量与AC平行，
所以平面BOD的法向量为n₀=（1，0，0）．…（8分）
∴cos?n0，n＞ = 

n0•n

|n0||n|

=

1

1× 7

=

7

7

，
因为二面角A-BD-O是锐角，
所以二面角A-BD-O的余弦值为

7

7

．…（9分）
（Ⅲ）因为N是线段BD上一个动点，设N（x₁，y₁，z₁），

BN

=λ

BD

，
则（x₁，y₁，z₁-3）=λ（0，3，-3），
所以x₁=0，y₁=3λ，z₁=3-3λ，…（10分）
则N（0，3λ，3-3λ），

CN

=(3

3

，3λ，3-3λ)，
由CN=4

2

得

27+9λ2+(3-3λ)2

=4

2

，即9λ²-9λ+2=0，…（11分）
解得λ=

1

3

或λ=

2

3

，…（12分）
所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）．…（13分）
（也可以答是线段BD的三等分点，

BN

=2

ND

或2

BN

=

ND

）

点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，解题的关键是熟练掌握向量法求二面角的公式，利用空间向量求二面角是向量引入高中的主要目的，大大降低了立体几何中求二面角、线面角的解题难度，要注意总结向量在几何中的运用规律，达到能熟练地运用向量工具解决几何题的程度