Question

7个人排成一排按下列要求有多少种排法．
（1）其中甲不站排头；
（2）其中甲、乙必须相邻；
（3）其中甲、乙、丙3人两两不相邻．

Answer 1

分析：（1）利用乘法原理：先从其余6人中任选一人排在排头，然后对余下6人进行全排，相乘即得答案；
（2）把甲和乙看做一个元素，与其他5个人6个元素全排列，注意甲和乙间还有一个排列；
（3）插空法：先排另外4人，再用插空法排甲、乙、丙三人，相乘即可；

解答：解：（1）先从其余6人中任选一人排在排头，有

A

1 6

=6种排法，
余下6人进行全排有

A

6  6

=720种排法，
根据分步乘法计数原理，共有6×720=4320种排法；
（2）甲和乙两个人要排列在一起，则可以把甲和乙看做一个元素，
用组成的元素与其他5个人6个元素全排列，注意甲和乙之间还有一个排列，
根据分步计数原理得到共有A₂²•A₆⁶=1440；
（3）先排另外4人有

A

4 4

=24种方法，再用插空法排甲、乙、丙三人有

A

3 5

=5×4×3=60种方法，
由乘法原理得不同排法有24×60=1440种．

点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，本题解题的关键是不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法，按照高矮顺序排列的几个人采用全排列除以几个人之间的排列数，在排列组合问题中这几种方法经常用到．