Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.

(Ⅰ)求证：平面

       （Ⅱ）若求与所成角的余弦值；

       （Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.

又因为PA⊥平面ABCD.

所以PA⊥BD.

所以BD⊥平面PAC.

（Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=PB=2,

所以BO=1，AO=CO=.

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则

 

P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.

所以

设PB与AC所成角为，则

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

设P（0，－，t）（t>0），

则

设平面PBC的法向量,

则

所以

令则

所以

同理，平面PDC的法向量

因为平面PCB⊥平面PDC,

所以=0，即

解得

所以PA=